章节目录 第45章 罗伦：能看懂吧？
「首先，我们注意到，这个积分的区间是从0到1，开闭无所谓，在这个区间里的每一个数都一定可以写成十进位的形式，也就是x=a1/10+a2/(10^2)+a3/(10^3)+……a∈（0-9）」
「不过，因为题目中的分子是2的幂，我们不妨写成二进位，也就是x=a1/2+a2/(2^2)+a3/(2^3)+……a∈（0-1）。」
「这里取二进位的优势在于，乘完以后取整数部分时是十分容易的，比如说，假设x用这样的一个二进位表示，x=∑(k=1→∞)（ak/（2^k）），于是就有[(2^n)x]=2^(n-1)a1+2^(n-2)a2+……+an，第n项以后的所有数都小于1，取整以后就直接变成0了。」
「这一步能看懂吧？」
罗伦话到这里看了眼西蒙娜，见她看得很认真，便顺口问了一嘴。
什么十进位二进位，这都什么跟什么啊，第一次听说这类的概念，不过，看起来还挺像那么回事的……西蒙娜心里暗道。
此时此刻，她还在盯着罗伦写的第二行关于二进位的式子看，并在心里迅速验算着是否正确。
至于第三行的内容，她还看都没看过。
但对上罗伦的眼睛，见他一副『这很简单你不会连这个都看不懂吧』的表情，西蒙娜也是个要面子的女士，又直接脱口道：
「懂啊，当然能看懂。」
罗伦见状，还以为她真懂了，便又继续往下讲解：
「所以这时候，我们可以用二进位的系数a将原始的无穷求和直接写出来，便有∑(n=1→∞)[(2^n)x]/(3^n)=∑(n=1→∞)(2^n)/(3^n)∑(k=1→∞)（ak/（2^k）），接下来，再交换求和的顺序，把系数a提取出来……」
「这里，嗯，需要用到一个交换求和顺序的式子，∑(k=1→n)∑(j=1→k)=∑(j=1→n)∑(k=j→n)……」
「接下来，就是计算换序后里面的求和，这实际上很简单，是一个等比数列……化简后，可以得到∑(k=1→∞)（ak/3^（k-1）），到这里，我们就将积分里面的东西，转化为了一个像是三进位的表达。」
「这一步能看懂吧？」罗伦习惯性地问了一嘴。
「能看懂……」
西蒙娜硬着头皮嘴了一句，但心里实际上已经开始在倒腾脏东西了。
这他妈的什么跟什么啊，凭什么交换求和的顺序可以这样写，这公式你怎么得出来的，为什么我在圣院的付费课程里没有学到过这一块？
罗伦继续道：
「令S=∑(k=1→∞)（ak/3^（k-1）），展开后便是a1/3+a2/(3^2)+a3/(3^3)+……这里的S是x的函数。「
「这时，题目中的积分式子就变成了∫(0→1)(S(x))^2dx。」
「现在尝试理解一下，在0到1上面随便取一个x，那么这个x一定会映射到S，所以S属于一个随机变量，而由于x是随便取的，x必然满足均匀分布，因此这个积分的意思是对随机变量S平方求期望……」
「考虑这样一个概率事件……所以，如果概率期望为p=1/2，那么方差即为p（1-p）=1/4……」
「最终代入计算，再逆着用方差公式变换下……可以得到最终的值为27/32。」
写到这里，罗伦自己觉得一目了然，清清楚楚。
这道题的难度是有的，但不算太离谱，顶多考研水平，只要能熟练理解二进位+概率期望+双重求和换序，解答起来基本算是手拿把掐。
当然，这是罗伦自己的看法，可放在西蒙娜眼里，却可能不太一样了。
此时此刻，西蒙娜看着罗伦最后计算出来的值，表情一愣一愣的：
「所以，这样就……解出来了？」
不等罗伦回答她的话，讲台上，那位黑袍老师的声音便先传了过来：
「通过二进位展开将连续变量离散化，又通过期望值将离散问题概率化，有意思，真有意思，这道题居然还能有如此简洁的做法……那位新来的同学，你，叫什么名字？」
虽然看不清黑袍老师的面孔，但此刻，罗伦还是感觉对方的视线落在了自己的身上。
罗伦连忙起身回道：「老师，我叫罗伦。」 记住本站网址，Ｗｗｗ．biquxu1．Ｃc，方便下次阅读，或且百度输入“ biquxu1.cc ”，就能进入本站
「不过，因为题目中的分子是2的幂，我们不妨写成二进位，也就是x=a1/2+a2/(2^2)+a3/(2^3)+……a∈（0-1）。」
「这里取二进位的优势在于，乘完以后取整数部分时是十分容易的，比如说，假设x用这样的一个二进位表示，x=∑(k=1→∞)（ak/（2^k）），于是就有[(2^n)x]=2^(n-1)a1+2^(n-2)a2+……+an，第n项以后的所有数都小于1，取整以后就直接变成0了。」
「这一步能看懂吧？」
罗伦话到这里看了眼西蒙娜，见她看得很认真，便顺口问了一嘴。
什么十进位二进位，这都什么跟什么啊，第一次听说这类的概念，不过，看起来还挺像那么回事的……西蒙娜心里暗道。
此时此刻，她还在盯着罗伦写的第二行关于二进位的式子看，并在心里迅速验算着是否正确。
至于第三行的内容，她还看都没看过。
但对上罗伦的眼睛，见他一副『这很简单你不会连这个都看不懂吧』的表情，西蒙娜也是个要面子的女士，又直接脱口道：
「懂啊，当然能看懂。」
罗伦见状，还以为她真懂了，便又继续往下讲解：
「所以这时候，我们可以用二进位的系数a将原始的无穷求和直接写出来，便有∑(n=1→∞)[(2^n)x]/(3^n)=∑(n=1→∞)(2^n)/(3^n)∑(k=1→∞)（ak/（2^k）），接下来，再交换求和的顺序，把系数a提取出来……」
「这里，嗯，需要用到一个交换求和顺序的式子，∑(k=1→n)∑(j=1→k)=∑(j=1→n)∑(k=j→n)……」
「接下来，就是计算换序后里面的求和，这实际上很简单，是一个等比数列……化简后，可以得到∑(k=1→∞)（ak/3^（k-1）），到这里，我们就将积分里面的东西，转化为了一个像是三进位的表达。」
「这一步能看懂吧？」罗伦习惯性地问了一嘴。
「能看懂……」
西蒙娜硬着头皮嘴了一句，但心里实际上已经开始在倒腾脏东西了。
这他妈的什么跟什么啊，凭什么交换求和的顺序可以这样写，这公式你怎么得出来的，为什么我在圣院的付费课程里没有学到过这一块？
罗伦继续道：
「令S=∑(k=1→∞)（ak/3^（k-1）），展开后便是a1/3+a2/(3^2)+a3/(3^3)+……这里的S是x的函数。「
「这时，题目中的积分式子就变成了∫(0→1)(S(x))^2dx。」
「现在尝试理解一下，在0到1上面随便取一个x，那么这个x一定会映射到S，所以S属于一个随机变量，而由于x是随便取的，x必然满足均匀分布，因此这个积分的意思是对随机变量S平方求期望……」
「考虑这样一个概率事件……所以，如果概率期望为p=1/2，那么方差即为p（1-p）=1/4……」
「最终代入计算，再逆着用方差公式变换下……可以得到最终的值为27/32。」
写到这里，罗伦自己觉得一目了然，清清楚楚。
这道题的难度是有的，但不算太离谱，顶多考研水平，只要能熟练理解二进位+概率期望+双重求和换序，解答起来基本算是手拿把掐。
当然，这是罗伦自己的看法，可放在西蒙娜眼里，却可能不太一样了。
此时此刻，西蒙娜看着罗伦最后计算出来的值，表情一愣一愣的：
「所以，这样就……解出来了？」
不等罗伦回答她的话，讲台上，那位黑袍老师的声音便先传了过来：
「通过二进位展开将连续变量离散化，又通过期望值将离散问题概率化，有意思，真有意思，这道题居然还能有如此简洁的做法……那位新来的同学，你，叫什么名字？」
虽然看不清黑袍老师的面孔，但此刻，罗伦还是感觉对方的视线落在了自己的身上。
罗伦连忙起身回道：「老师，我叫罗伦。」 记住本站网址，Ｗｗｗ．biquxu1．Ｃc，方便下次阅读，或且百度输入“ biquxu1.cc ”，就能进入本站