章节目录 第39章 证法太多啦
「第一种方法，用群论中的拉格朗日定理来证明。」
「构造模p乘法群Z*p=（1，2，3……p-1），p为素数，其阶为p-1。对该群中任意元素a∈Z*p，其生成的循环子群
<a>的阶，必整除p-1。即存在整数k，使得p-1=k·ord（a），因此，可直接导出a^（p-1）≡1（mod p）。」
「清晰又简单，几步就证出来了……不过这需要用到群论。」
罗伦这一世并没有接触过抽象代数，甚至连线代等高等代数的内容也没接触过。
而群论属于抽象代数的分支内容。
当前，罗伦并不清楚这个世界的代数学，究竟发展到了哪个地步。
群环域等抽象代数的概念是否已经诞生？
连费马小定理都能被称作难题，想来是没诞生的，否则不至于连一道初等数论的题目都搞不定。毕竟初等数论的强度连线性代数都不如，强度在线性代数之上的抽象代数，那得解析数论和代数数论来了才能与之碰一碰。
所以，眼下若要用群论来解决这道题目，就得从无到有把群论搞出来，然后才能运用其中的各种结论解题。
为了证明个费马小定理，就将群论拎出来？
这纯属是用大炮打蚊子，或者说是为了蘸那点醋就去包饺子，非但没太大必要，还显得太蠢丶太亏了。
毕竟，这个世界的数学知识并非只是死的逻辑工具，而是具有超凡特性的事物。
在没搞明白当前数学界的格局之前，贸然将群论这种能颠覆世界的数学大杀器祭出来，不一定是件好事。
迅速毙掉群论证法后，罗伦的思绪再次流转起来。
「第二种方法，直接通过初等数论中的欧拉定理来证明，设a与p为正整数，且它们的最大公约数为1，则有a^φ(p)≡1（mod p），当p是一个素数时，φ(p)=p－1，即可得证……」
「说起来，费马小定理本就可以看作是数论欧拉定理的一个特例，属于是天然推论。」
「第三种方法，通过将二项式定理展开比较系数，再结合归纳法，也可得证。」
「第四种方法，进行多项式根与导数分析，利用代数方程的根唯一性来证明，不过还是需要用到群论的一些思想。」
「第五种方法，寻找组合不变量与代数结构的深层联系，再通过旋转对称性来证明，譬如，将题干中的模p运算，与素数长度项炼的旋转对称性对应，也可以完成证明。」
「第六种方法，利用完全剩余系来证明，考虑集合{a， 2a，...，(p-1)a}在模p下的排列，这些数的乘积与1到p-1的乘积同余……」
思绪到这里，罗伦的心中又不由延伸出了更多的证明方法。
不过，多是以上几种方法的变形。
仔细斟酌了下，他觉得第三种方法最省心省事。
「相比于另外五种证法，二项式定理和归纳法，是这个世界中已诞生的概念……」
「之前在雾森三中上课时，有个数学老师为了卖弄自己对前沿知识的掌握程度，专门讲述过二项式定理的内容，不需要涉及新的概念，而且比较容易理解……那就它了。」
思绪流转到这里。
确定要用第三种证法，来解决这道猜想后，罗伦也不拖沓。
他一抬手，指尖自动绕起一圈橙黄雾气，化作一支带墨的写字笔，笔尖触及白色写字板，快速往上面书写起了自己的证明过程。
[对（a+1）^p进行二项式展开，可知：（a+1）^p=∑（k=0→p）（k，p）a^(k-p)·1^k=(0，p)a^p+(1，p)a^（p-1）+……+(p-1，p)a+（p，p）。]
[通过观察，可以注意到：当p是素数时，除了第一项和最后一项，其余的每一项系数都是p的倍数。]
一旁，莫利斯见罗伦居然看了几眼题目，没过多久，便开始了解答，神情不由一怔。
这就有解题思路了？
不会吧……
莫利斯心下一跳，但随后又暗暗摇头：
「不可能，这才多久……」
「这小子应该和之前的我一样，发现一些思路就急匆匆地开始了作答。如果不出意外的话，他应该很快就会犯下我之前犯过的错误，走入死胡同，最终不得不回到原点。」 记住本站网址，Ｗｗｗ．biquxu1．Ｃc，方便下次阅读，或且百度输入“ biquxu1.cc ”，就能进入本站
「构造模p乘法群Z*p=（1，2，3……p-1），p为素数，其阶为p-1。对该群中任意元素a∈Z*p，其生成的循环子群
<a>的阶，必整除p-1。即存在整数k，使得p-1=k·ord（a），因此，可直接导出a^（p-1）≡1（mod p）。」
「清晰又简单，几步就证出来了……不过这需要用到群论。」
罗伦这一世并没有接触过抽象代数，甚至连线代等高等代数的内容也没接触过。
而群论属于抽象代数的分支内容。
当前，罗伦并不清楚这个世界的代数学，究竟发展到了哪个地步。
群环域等抽象代数的概念是否已经诞生？
连费马小定理都能被称作难题，想来是没诞生的，否则不至于连一道初等数论的题目都搞不定。毕竟初等数论的强度连线性代数都不如，强度在线性代数之上的抽象代数，那得解析数论和代数数论来了才能与之碰一碰。
所以，眼下若要用群论来解决这道题目，就得从无到有把群论搞出来，然后才能运用其中的各种结论解题。
为了证明个费马小定理，就将群论拎出来？
这纯属是用大炮打蚊子，或者说是为了蘸那点醋就去包饺子，非但没太大必要，还显得太蠢丶太亏了。
毕竟，这个世界的数学知识并非只是死的逻辑工具，而是具有超凡特性的事物。
在没搞明白当前数学界的格局之前，贸然将群论这种能颠覆世界的数学大杀器祭出来，不一定是件好事。
迅速毙掉群论证法后，罗伦的思绪再次流转起来。
「第二种方法，直接通过初等数论中的欧拉定理来证明，设a与p为正整数，且它们的最大公约数为1，则有a^φ(p)≡1（mod p），当p是一个素数时，φ(p)=p－1，即可得证……」
「说起来，费马小定理本就可以看作是数论欧拉定理的一个特例，属于是天然推论。」
「第三种方法，通过将二项式定理展开比较系数，再结合归纳法，也可得证。」
「第四种方法，进行多项式根与导数分析，利用代数方程的根唯一性来证明，不过还是需要用到群论的一些思想。」
「第五种方法，寻找组合不变量与代数结构的深层联系，再通过旋转对称性来证明，譬如，将题干中的模p运算，与素数长度项炼的旋转对称性对应，也可以完成证明。」
「第六种方法，利用完全剩余系来证明，考虑集合{a， 2a，...，(p-1)a}在模p下的排列，这些数的乘积与1到p-1的乘积同余……」
思绪到这里，罗伦的心中又不由延伸出了更多的证明方法。
不过，多是以上几种方法的变形。
仔细斟酌了下，他觉得第三种方法最省心省事。
「相比于另外五种证法，二项式定理和归纳法，是这个世界中已诞生的概念……」
「之前在雾森三中上课时，有个数学老师为了卖弄自己对前沿知识的掌握程度，专门讲述过二项式定理的内容，不需要涉及新的概念，而且比较容易理解……那就它了。」
思绪流转到这里。
确定要用第三种证法，来解决这道猜想后，罗伦也不拖沓。
他一抬手，指尖自动绕起一圈橙黄雾气，化作一支带墨的写字笔，笔尖触及白色写字板，快速往上面书写起了自己的证明过程。
[对（a+1）^p进行二项式展开，可知：（a+1）^p=∑（k=0→p）（k，p）a^(k-p)·1^k=(0，p)a^p+(1，p)a^（p-1）+……+(p-1，p)a+（p，p）。]
[通过观察，可以注意到：当p是素数时，除了第一项和最后一项，其余的每一项系数都是p的倍数。]
一旁，莫利斯见罗伦居然看了几眼题目，没过多久，便开始了解答，神情不由一怔。
这就有解题思路了？
不会吧……
莫利斯心下一跳，但随后又暗暗摇头：
「不可能，这才多久……」
「这小子应该和之前的我一样，发现一些思路就急匆匆地开始了作答。如果不出意外的话，他应该很快就会犯下我之前犯过的错误，走入死胡同，最终不得不回到原点。」 记住本站网址，Ｗｗｗ．biquxu1．Ｃc，方便下次阅读，或且百度输入“ biquxu1.cc ”，就能进入本站